Verhalten von Testkörpern im de-Sitter-Universum

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Es wird das jeweilige Verhalten zweier Arten von Testkörpern beschrieben, sowohl in statischen als auch – expandierenden – Robertson-Walker-Koordinaten der de Sitterschen Raum-Zeit. Die statischen Koordinaten wurden so genannt, weil der Raum einem Beobachter, dessen Uhren und Maßstäbe gemäß dieser Koordinaten gestellt bzw. kalibriert wurden, statisch erscheint. Der Anblick eines solchen Universums ist jedoch bemerkenswert, weil freie Testkörper nicht in Ruhe sein können. Sie sind, stattdessen, in ständiger Bewegung begriffen.

Dieses ist der, einst berühmte, „de-Sitter-Effekt“. Auf jene Testkörper dagegen, die relativ zu den statischen Koordinaten in Ruhe sind, muss eine Kraft wirken, daher verschwindet deren Viererbeschleunigung nicht, und sie bewegen sich auch nicht auf geodätischen Kurven der Raum-Zeit. Die Vierergeschwindigkeiten und -beschleunigungen solcher Körper werden sowohl in den statischen als auch den Robertson-Walker-Koordinaten berechnet und miteinander verglichen. In letzteren, wie sich herausstellt, sind diese Körper keineswegs in Ruhe.

Zweitens werden Testkörper betrachtet, die einem zweiten Beobachter als ruhend erscheinen, dessen Uhren und Maßstäbe nicht mehr mit den statischen, sondern den Robertson-Walker-Koordinaten im Einklang sind. Diese Körper tun nichts weiter, als mit dem Universum zu expandieren: sie sind im freien Fall begriffen und bewegen sich daher auf Gedätischen der Raum-Zeit.

Werden ihre Vierergeschwindigkeiten auf statische Koordinaten umgerechnet, werden diese frei fallenden Teilchen sich natürlich noch immer entlang derselben Geodätischen bewegen, mit Geschwindigkeiten allerdings, die mit den Entfernungen vom angenommenen Nullpunkt des statischen Koordinatensystems zunehmen. Dies illustriert nochmals den de-Sitter-Effekt. Spezielles Gewicht wurde auf den dreidimensionalen Fall gelegt, in dem der Standpunkt angenommen werden kann, die de Sittersche Raum-Zeit sei eine in die 1+2-dimensionale Minkowskische Raum-Zeit eingebettete Fläche. Die Trajektorien der betrachteten Testkörper sowie der der de Sitterschen Raum-Zeit innewohnende Ereignishorizont werden vermittelst Reduzierung der Zahl der Dimensionen auf zwei veranschaulicht.

Im letzten Teil wird in einem kleinen Spaziergang durch den Garten der Differentialgeometrie, wie man es nennen könnte, der Unterschied zwischen Kurven auf der Mannigfaltigkeit und ihren korrespondierenden Bildern auf der verwendeten Karte herausgearbeitet sowie der Zusammenhang zwischen einem Tangentenvektor einer Kurve auf der Mannigfaltigkeit und der Vierergeschwindigkeit des zugehörigen Testkörpers.

Test Particles In The De Sitter Universe (457.8 KiB, 320 downloads)

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